Kelompok 2
Nama : Ardi Saputro .P (51413241)
Kelas : 2IA13
1.
Diberikan gambar sebuah graf seperti di bawah ini.
|
a) Tunjukkan dengan ketidaksamaan
Euler bahwa graf tersebut tidak planar.
|
(b) Tunjukkan dengan Teorema
Kuratowski bahwa graf tersebut tidak planar.
|
Jawab
:
(a). Dengan ketidaksamaan euler
jika menggunakan rumus
ketidaksamaa euler e ≤ 3n – 6 maka akan terlihat bahwa graf memenuhi
ketidaksamaan tersebut (padahal graf tidak planar)
e ≤ 3n – 6
15 ≤ 3 * 8 – 6
15 ≤ 24 – 6
15 ≤ 18
untuk menunjukkan bahwa graf
tidak planar kita membuat asumsi baru bahwa setiap daerah pada graf planar
dibatasi oleh paling sedikit 4 buah sisi . Dengan demikian total banyaknya sisi
lebih besar atau sama dengan 4f. Tetapi karena suatu sisi berada pada batas
paling banyak 2 wilayah maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan
2e. Jadi :
2e ≤ 4f
dengan rumus euler menjadi
ketidaksamaan
e ≤ 2n – 4
15 ≤ 2 * 8 – 4
15 ≤ 16 – 4
15 ≤ 12 terbukti
(b).
Dengan teorema kuratowski
dapat dibuktikan bahwa graf tersebut mengandung upagraf yang homeomorfik
dengan
graf K3,3
atau K5.
|
G
|
G1 adalah upagraf
dari G
|
G2 yang isomorfik dengan G1
|
G2 homeomorfik dengan K5
(dengan membuang simpul A dan C yang berderajat 2)
|
2.
Dept. IF mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya masing-masing
selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja dengan masing-masing
anggotanya adalah: K1 = {Amir, Budi, Yanti},
K2 = {Budi, Hasan, Tommy}, K3 = {Amir,
Tommy, Yanti}, K4 = {Hasan, Tommy,
Yanti}, K5 = {Amir, Budi}, K6
= {Budi, Tommy, Yanti}.
Berapa banyak waktu rapat berbeda yang harus direncanakan sehingga tidak
ada anggota kelompok kerja yang dijadwalkan rapat pada waktu yang sama.
Gambarkan graf yang merepresentasikan persoalan ini lalu (sisi menyatakan apa,
simpul menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.
Jawab :
Simpul : menyatakan kelompok
Sisi : menyatakan adanya anggota kelompok yang sama
Jika ada sisi yang menghubungkan
2 kelompok berarti kelompok tersebut tidak boleh rapat pada waktu yang sama.
Dibawah dapat dilihat gambar graf
yang terbentuk. Untuk mencari jumlah minimum waktu rapat yang harus disediakan
kita dapat menggunakan cara yang sama seperti mencari bilangan kromatis dari
graf tersebut. Setiap warna yang berbeda mewakili satu waktu rapat yang
dibutuhkan.
Bilangan kromatis graf tersebut
adalah 5. maka waktu rapat yang harus disediakan adalah 5.
1
waktu untuk K1
1
waktu untuk K2
1
waktu untuk K3
1
waktu untuk K4 dan K5
1
waktu untuk K6
3. Disebuah
pulau terdapat 10 kota, dimana kota-kota tersebut dihubungkan dengan ruas-ruas
jalan. Ada dua kota yang terhubung. Ada juga yang tidak. Suatu rute yang
dimulai dari suatu kota, mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing-masing
sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan ruas jalan
minimal yang perlu untuk dibuat, sehingga apabila diberikan sembarang kota di
pulau tersebut ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.
Jawab:
|
|
graph sebuah pulau
dengan 10 kota
|
Rute
wisata di mulai dari kota 1 melewati 8 kota lainya. Kecuali kota 7. Ruas jalan
yang di butuhkan ada 9 ruas jalan. Antara lain:
R1
: 1-2
R4 :
4-5
R7 : 8-9
R2
:
2-3
R5 :
5-6
R8 : 9-0
R3
:
3-4
R6 :
6-8
R9 : 0-1
4. Apakah graf pada gambar di bawah
mempunyai sirkuit Euler? Jelaskan! Bila jawaban saudara “Ya”, maka berikan
sirkuit Euler tersebut. Lalu, tentukan dua lingkaran Hamilton berbeda pada
Geraf B di bawah ini!
A
B
Jawab:
Untuk
mengetahui apakah graf A di atas
memiliki sirkuit Euler, kita dapat menggunakan suatu teorema yang menyatakan “Jika pseudograf G terhubung dan derajat
setiap titiknya mempunyai derajat genap,
maka G mempunyai sebuah sirkuit Euler” Untuk itu kita periksa bahwa A terhubung dan derajat setiap
titiknya genap. Pertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:
A
Graf
A terhubung karena terdapat
sebuah lintasan dari titik x dan y jika diketahui sembarang titik x dan y. Dan
jika kita periksa sebagai berikut:
a
ke b lintasannya (a, e1, b) ; a ke c lintasannya (a, e1, b, e2, c) ; a ke d lintasannya (a, e12,d) ; a ke e
lintasannya (a, e11, e) ; a ke f
lintasannya (a, e11, e, e10, f) ; b ke c lintasannya (b, e2, c) ; b ke d
lintasannya (b, e4, d) ; b ke e lintasannya (b, e4, d, e8,e) ; b ke f
lintasannya (b, e6, f) ; c ke lintasannya (c, e7, f, e9, d) ; c ke e
lintasannya (c, e5, e) ; c ke f
lintasannya (c, e7, f) ; d ke e lintasannya (d, e8, e) ; d ke f lintasannya
(d, e9, f) ; e ke f lintasannya (e, e10, f) ; sehingga dengan demikian A
terhubung.
d(a) = d(b) = d(c) = d(d) = d(e) = d(f) = 4 ini artinya setiap setiap titik pada
graf A berderajat genap.
Karena
derajat setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A
mempunyai sebuah sirkuit Euler.
Jadi graf A di atas mempunyai Sirkuit Euler-nya, dan sirkuit Euler-nya
yaitu:
(c,
a, b, f, c, e, a, d, e, f, d, b, c)
Untuk
menunjukan lingkaran Hamilton dalam sebuah graf B maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:
B
Berikut
ini dua lingkaran Hamilton berbeda pada graf B :
(l, h, i, d, c, b, a, j,
k, g, f, e, l)
dan
(i, h, g, f, e, l, b, a,
j, k, c, d, i)
5. Periksalah
apakah kedua graf di bawah ini planar. Berikan alasan
(A) (B)
Jawab:
Untuk
memeriksa graf A planar atau
tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf A seperti yang tampak di bawah ini:
(A)
Dalam
pemeriksaan apakah graf A planar
atau tidak planar, dapat menggunakan Teorema Kuratowski yang menyatakan, “Graf G merupakan planar jika dan hanya jika
G tidak mengandung suatu graf-K sebagai subgraf dari G”. Dalam hal ini
sebuah graf-K adalah graf yang didapat dari K5 atau K3,3
dengan melakukan subdivisi pada sisinya. Artinya dalam persoalan
pemeriksaan apakah graf A planar
atau tidak planar kita akan mencoba menemukan K5 atau K3,3 pada graf A..
Pertama
kali kita ingat bahwa titik a, c, d, e dan
f pada graf A yang telah
dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu
kita coba menemukan K5
dalam graf A, karena dalam K5 setiap titik mempunyai
derajat 4, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:
Graf
A kita dapat membentuknya
seperti tampak dibawah ini:
K5 setiap
titik mempunyai derajat 4, sehingga kita dapat menghapus sisi (d, h) dan (g, h)
agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:
Selanjutnya
kita dapat melakukan reduksi seri (Definisi:
Jika sebuah graf G mempunyai sebuah sisi v berderajat 2 dan sisi (v, v1)
dan (v, v2) dengan v1 ¹ v2 kita katakana bahwa rusuk Reduksi seri
(v, v1) dan (v, v2) berada dalam seri. Reduksi
seri terdiri dari penghapusan sisi v graf G dan menggantikan sisi-sisi (v, v1)
dan (v, v2) dengan sisi (v1, v2). Graf yang
dihasilkan G’ dikatakan diperoleh dari G dengan sebuah reduksi seri.
Berdasarkan konvensi, G dikatakan dapat diperoleh dari diri sendiri dengan sebuah
reduksi seri) dan graf yang dihasilkan akan mempunyai sepuluh
sisi dan karena K5
mempunyai sepuluh sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan
coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (d, h) dan (g, h)
dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K5 seperti tampak pada Gambar 5.1. di atas.
Jadi, graf A pada soal 5. ini tidak planar, karena
graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K5.
Untuk
memeriksa graf B planar atau
tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:
(B)
Dalam
pemeriksaan apakah graf B planar
atau tidak planar, dapat menggunakan sama halnya seperti apa yang dilakukan pada
graf A tadi di atas
menggunakan Teorema Kuratowski. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah
graf B planar atau tidak planar
kita akan mencoba menemukan K5 atau K3,3 pada graf B.
Pertama
kali kita ingat bahwa titik a, b, d, c dan
d pada graf B yang telah
dilabeli pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu
kita coba menemukan K3,3
dalam graf B, karena dalam K3,3 setiap titik mempunyai
derajat 3, sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:
Graf
B kita dapat membentuknya seperti
tampak dibawah ini:
(B)
K3,3 setiap
titik mempunyai derajat 3, sehingga kita dapat menghapus sisi (c, h), (e, h)
dan (i, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah ini:
Hapus sisi (c, h), (e, h) dan (i, h)
|
|
Selanjutnya
kita dapat melakukan reduksi seri sehingga graf yang dihasilkan akan mempunyai
sembilan sisi dan karena K3,3
mempunyai sembilan sisi, pendekatan ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan
coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika kita kurangi sisi (c, h), (e, h) dan
(i, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah salinan dari K3,3 seperti tampak pada Gambar 5.2. di atas.
Jadi, graf B pada soal 5. ini tidak planar, karena
graf tersebut mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K3,3.
Pada video tersebut akan dijelaskan bagaimana cara membentuk kepala, badan, dan anggota tubuh lainya. Langkah pertama adalah membuat bagian kepala dari objek lingkaran.
Dengan cara klick add-mesh-circle. Maka objek yang berbentuk lingkaran akan muncul pada cursor. Agar objek lingkaran dapat dibentuk menjadi lebih menyerupai kepala karakter android pilih edit mode, hingga objek berubah warna menjadi oranye. Lalu setelah itu pilih face selection dan klik kanan untuk memilih bagian yang ingin diseleksi. Dan apabila ingin memilih bagian yang ingin diseleksi secara langsung sekaligus maka klik shift+alt.
Terlihat pada gambar diatas yang berwarna oranye adalah daerah yang diseleksi sekaligus. Lalu pilih bagian setengah lingkaran, dan jika sudah terpilih maka akan dihapus dengan klik delete.
Lalu ubah kembali menjadi objek mode. Seelah objek kepala dari karakter android selesai maka selanjutnya akan menambahkan objek tabung untuk dijadikan badan dari karakter android, dengan cara klik add-mesh-cylinder.
Lalu akan dibuat objek tangan dengan memasukan objek lain yang diambil dari objek utama pada karakter andoid. Klik add-mesh-UV_SPHERE
Lalu objek tangan tersebut kita edit kembali dengan cara memilih edit mode agar bentuk dari objek tersebut dapat lebih leluasa diedit. Lalu kita masuk kedalam edit mode lagi untuk memilih bagian setengah lingkaran pada objek tangan tersebut. Setelah terpilih setengah lingkaran makan tekan E lalu menarik objek tersebut agar menjadi panjang. Lalu kembali ke objek mode lalu tekan S untuk scale, lalu kita atur skalanya agar terlihat seimbang dengan karakteter android tersebut. Lalu objek tersebut kita duplikat dengan klik shift+D.
Setelah itu langkah selanjutnya adalah membuat bagian kaki pada karakter android tersebut dengan menduplikatkan bagian tangan, klik shift+D lalu perbanyak objek tersebut menjadi 2.
Lalu selanjutnya akan membuat objek lingkaran kembali dengan menggunakan UV_SPHERE yang berarti membuat objek lingkaran dengan cara mengambil objek lingkaran dari objek lain pada karakter android. Dan objek lingkaran yang baru tersebut dikecilkan.
Lalu letakan objek lingkaran tersebut pada bagian depan dari objek kepala. Lalu duplikasikan objek mata tersebut agar menjadi 2 guna dijadikan mata bagian kiri.
Setelah itu akan dibuat objek tanduk pada karakter android tadi. Dengan cara menduplikatka objek bagian tangan dan mengatur skalanya agar menjadi kecil sesuai ukuran dari tanduk pada android tersebut.
Setelah semua bagian tubuh dari objek android sudah terbentuk maka langkah terakhir adalah pemberian warna pada karakter tersebut. Dengan cara klik material-new-lalu pilih warna yang disukai. Lakukan langkah yang sama pada berbagai bagian tubuh pada karakter tersebut. Maka hasilnya akan menjadi seperti ini.
URL : https://www.youtube.com/watch?v=7HLVvuMQeX8
